Κ Λ Α Σ Μ Α Τ Α

Κλάσμα στα μαθηματικά είναι μια ειδική περίπτωση λόγου, στην οποία δυο αριθμοί συσχετίζονται σε μια σχέση ένα-προς-πολλά, αντί για μια συγκριτική συσχέτιση μεταξύ ποσοτήτων.[1] Αποτελείται από δυο τμήματα, τον αριθμητή που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή κλάσματος και τον παρονομαστή που βρίσκεται στο κάτω μέρος· ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος. Οι όροι μπορεί να είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθμοί, θετικοί ή αρνητικοί, με μοναδικό περιορισμό ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν.Το κλάσμα ουσιαστικά είναι μια μορφή αναπαράστασης της διαίρεσης δυο αριθμών, του αριθμητή δια του παρονομαστή. Έτσι, μπορεί η αριθμητική του τιμή να ισούται με έναν ακέραιο ή έναν δεκαδικό αριθμό. Το κλάσμα είναι ρητός αριθμός. Το σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα το οποίο για όρους έχει δυο άλλα κλάσματα.
Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την πρόσθεση και την αφαίρεση, όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ομώνυμα, δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που πετυχαίνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους. Ο πολλαπλασιασμός γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η διαίρεση μέσω της απλοποίησης σύνθετου κλάσματος ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το διαιρέτη.

Τα κλάσματα έχουν πολλές εφαρμογές σε προβλήματα και θα πρέπει να κατανοηθούν πλήρως γιατί είναι μια έννοια η οποία θα χρησιμοποιείται σε όλες τις επόμενες τάξεις. Στην ενότητα "Θεμελιώδεις Έννοιες" μπορείτε να βρείτε χρήσιμο υλικό σχετικά με την θεωρία αυτού του κεφαλαίου ενώ στις ενότητες "Λυμένες Ασκήσεις" και "Άλυτες Ασκήσεις" υπάρχουν κάποιες ενδεικτικές ασκήσεις που αναφέρονται στην αντίστοιχη θεωρία.

Επίσης στην πρώτη σελίδα που αφορά την A' Γυμνασίου μπορείτε να βρείτε στην ενότητα "Τυπολόγια" ένα εύχρηστο τυπολόγιο που συνοψίζει όλη την θεωρία που πρέπει να γνωρίζετε προκειμένου να μπορείτε να λύνετε τις ασκήσεις σας.

Στα μαθηματικά τη λέξη κλάσμα τη χρησιμοποιούμε για να προσδιορίσουμε ένα ή περισσότερα τμήματα στα οποία διαιρέθηκε η ακέραια μονάδα. Ο αριθμός των ίσων τμημάτων στα οποία έχει διαιρεθεί η μονάδα λέγεται παρονομαστής του κλάσματος ενώ ο αριθμός που φανερώνει το πλήθος των ίσων τμημάτων που παίρνουμε ονομάζεται αριθμητής του κλάσματος. Μεταξύ του αριθμητή και του παρονομαστή τοποθετείται μικρό οριζόντιο ευθύγραμμο τμήμα που λέγεται γραμμή του κλάσματος. Ο αριθμητής τοποθετείται στο πάνω μέρος της γραμμής και ο παρονομαστής από κάτω. Χαρακτηριστικό του κλάσματος είναι ότι μεγαλώνει όσο μεγαλώνει ο αριθμητής του ή μικραίνει ο παρονομαστής του και ότι μικραίνει όσο μικραίνει ο αριθμητής του και μεγαλώνει ο παρονομαστής του.
Χαρακτηριστικός διαχωρισμός των κλασμάτων είναι σε κλάσματα γνήσια και κλάσματα καταχρηστικά. Γνήσια λέγονται τα κλάσματα που είναι μικρότερα από την ακέραια μονάδα, ενώ τα άλλα είναι τα καταχρηστικά. Τα καταχρηστικά κλάσματα είναι δυνατό να γραφτούν και με τη μορφή του μεικτού αριθμού. Με τη μορφή του κλάσματος μπορεί επίσης να παρασταθεί και η ακέραια μονάδα, αρκεί μόνο να είναι ίσοι ο αριθμητής και ο παρονομαστής.
Στα κλάσματα είναι δυνατό να γίνουν και οι τέσσερις πράξεις της αριθμητικής. Πρέπει όμως να προσέξουμε, προκειμένου να εκτελέσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης κλασμάτων, να τα κάνουμε ομώνυμα, να τα μετατρέψουμε δηλαδή σε κλάσματα που έχουν κοινό παρονομαστή. Ο πολλαπλασιασμός γίνεται με απευθείας πολλαπλασιασμό αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή, η διαίρεση όμως χρειάζεται προσοχή, γιατί παρουσιάζει μία ιδιομορφία στην εκτέλεση της. Συγκεκριμένα, όταν έχουμε να διαιρέσουμε κλάσμα με κλάσμα, αντιστρέφουμε το διαιρέτη και αντί διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό. Η γνώση των κλασματικών αριθμών αποτελεί για τον καθένα σταθμό για τη σπουδή της μαθηματικής επιστήμης, αλλά και απαραίτητο εφόδιο για την καθημερινή ζωή. Για αυτό διδάσκονται στα σχολεία από τις πρώτες σχολικές τάξεις.