ΕΝΟΤΗΤΑ 2

**Admin** Τρι Νοε 30, 2010 2:16 am

Η ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΑΓΝΩΣΤΟΥ

Πρόβλημα

Μιά κασετίνα κάνει 8 ευρώ. Πόσο κάνουν οι 2, οι 3, οι 4 ... κασετίνες;

Αφού.. η 1 κασετίνα κάνει 8 ευρώ τότε:

οι 2 κασετίνες κάνουν 2 Χ 8 = 16 ευρώ

οι 3 κασετίνες κάνουν 3 Χ 8 = 24 ευρώ

οι 4 κασετίνες κάνουν 4 Χ 8 = 32 ευρώ

Γενικά, για να βρούμε πόσο θα πληρώσουμε για έναν αριθμό κασετίνες, θα πολλαπλασιάσουμε το 8 επί τον αριθμό των κασετίνων. Αυτό συμβολικά το γράφουμε: 8 Χ (αριθμός κασετίνων).

Για διευκόλυνσή μας, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την έκφραση «αριθμός κασετίνων» με το γράμμα Χ (ή οποιοδήποτε άλλο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου) και να γράψουμε: 8 ▪ Χ,

όπου Χ είναι ο αριθμός κασετίνων.

Το Χ εδώ ονομάζεται μεταβλητή, αφού μπορεί να πάρει τη θέση οποιουδήποτε αριθμού.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1) Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα 85 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα διανύσει σε Χ ώρες; Να βάλετε στη θέση του Χ τους αριθμούς 5, 7, 13 και να βρείτε κάθε φορά την αντίστοιχη απόσταση:

Για χ=5, έχουμε ...................................................................
Για χ=7, έχουμε ...................................................................
Για χ=13,έχουμε ..................................................................

2. Μια δακτυλογράφος, δακτυλογραφεί 14 σελίδες σε μια ώρα. Πόσες σελίδες θα δακτυλογραφήσει σε Χ ώρες; Να βάλετε στη θέση του Χ τους αριθμούς 4, 6 και 8 και να βρείτε τις αντίστοιχες σελίδες:

3. Οι 156 μαθητές του 5ου Δημοτικού Σχολείου θα πάνε εκδρομή. Υπάρχουν χ πούλμαν για τη μεταφορά των μαθητών.

α) Πόσοι μαθητές θα μπουν σε κάθε πούλμαν;

β) Βάλτε στη θέση του χ τους αριθμούς 4 και 3 και βρείτε κάθε φορά πόσοι μαθητές θα μπουν σε κάθε πούλμαν.

**Admin** Τρι Νοε 30, 2010 2:31 am

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]
Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος

Η Αλεξάνδρα, επισκέφθηκε τη φίλη της Αθηνά στο άλλο σχολείο και επειδή έμεινε αρκετή ώρα εκεί και πείνασε, αγόρασε από το κυλικείο του σχολείου ένα τοστ και ένα μπουκαλάκι νερό που στοίχιζε 0,50 Ευρώ. Πλήρωσε και για τα δύο προϊόντα μαζί 1 Ευρώ και 70 λεπτά. Πόσο στοίχιζε το τοστ;
Λύση

Συμβολίζουμε την τιμή του τοστ με μια μεταβλητή, έστω χ.
Εκφράζουμε με μια ισότητα τα δεδομένα και το ζητούμενο ( χ + 0,50 = 1,70 )
Αφαιρούμε από το άθροισμα το γνωστό προσθετέο ( 1,70 - 0,50 = 1, 20 )
Όμοια θα εργαζόμασταν και αν άγνωστο ήταν το β΄προϊόν, δηλ. το νερό. Τότε η ισότητα που θα σχηματίζαμε θα ήταν ( 1,20 + χ = 1,70) Και το αποτέλεσμα ( 1,70 - 1,20 = 0,50 ) Όπως καταλαβαίνεις δεν έχει σημασία αν σε μια εξίσωση πρόσθεσης ο άγνωστος είναι στη θέση του α΄ή του β΄προσθετέου, γιατί στην πρόσθεση ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα. Επίσης έλεγξε αν είναι δυνατόν σε μια εξίσωση πρόσθεσης ο άγνωστος να είναι 0 ( πότε Άσκηση 1η
Να λύσεις με το νου την εξίσωση: Χ + 2 = 9

Λύση

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]


[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

Άσκηση 2η

Να λύσεις με το νου την εξίσωση: (3 + 2 + 7) + Χ = 19 Λύση

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]
Πρόβλημα 1ο

Να εκφράσεις με εξίσωση το πρό-βλημα που ακολουθεί και να το λύσεις: Η Άννα έχει συγκεντρώ-σει 37,5 € από το χαρτζιλίκι της. Πόσα ακόμη χρειάζεται για να αγοράσει μια μικρή φωτογραφική μηχανή που κοστίζει 68 €;

Λύση

Πρόβλημα 2ο

Σκέφτομαι έναν αριθμό. Προσθέ-τω σε αυτόν 12 και βρίσκω άθροισμα 36. Ποιος
είναι ο αριθμός;

Λύση

Πρόβλημα 3ο

Το μαγικό τετράγωνο ανακαλύ-φθηκε από τους Κινέζους το 90 μ.Χ. Στο τετράγωνο αυτό το άθροισμα κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι το ίδιο. Τα δύο τετράγωνα που ακολουθούν είναι μαγικά. Παρα-τήρησε το δεύτερο και σχημάτισε όλες τις εξισώσεις που μπορείς οριζόντια, κάθετα και διαγώνια

10	3	4	2	Χ	6
5	7	9	9	5	ψ
6	11	4	ω	3	8

Λύση

Δραστηριότηταμεπροεκτάσεις:

«Μαντεύω τις μέρες που σκέφτηκες στο ημερολόγιο»

«Κοίταξε τέσσερις ημέρες στο ημερολόγιο που να σχηματίζουν ένα τετράγωνο», μου είπε ο φίλος μου ο Άρης. «Πες μου το άθροισμα από τις ημερομηνίες τους και εγώ θα σου πως ποιες ημέρες κοίταξες».

«Είκοσι» του απάντησα.

«Πανεύκολο», μου είπε. «Κοίτα-ζες τις ημερομηνίες 1, 2, 8 και 9».

«Ουάου», είπα «πώς το βρήκες;».

«Είναι απλό. Να, δες το», μου είπε και μου εξήγησε.

Παίρνουμε ένα οποιοδήποτε ημερολόγιο – για παράδειγμα, το ημερολόγιο του Μαΐου 2006 – και λέμε στο φίλο μας να διαλέξει τέσσερις ημέρες που σχηματίζουν ένα τετράγωνο, όπως είναι το κόκκινο τετράγωνο παρακάτω: 1, 2, 8 και 9 του μήνα. Ο φίλος μας λέει το άθροισμα από τις ημερομηνίες τους και εμείς βρίσκουμε ποιες είναι οι τέσσερις αυτές ημέρες.

*Μάιος 2006*
Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Πώς είναι δυνατόν αυτό; Με τη βοήθεια των μαθηματικών. Πρόσεξε πως γίνεται:

Ας υποθέσουμε πως ο φίλος μας διάλεξε, όπως και εσύ, τις μέρες στο κόκκινο τετράγωνο: 1, 2, 8 και 9. Το άθροισμα που θα μας πει είναι 20.

Με μερικούς υπολογισμούς θα βρούμε ποιες μέρες δίνουν αυτό το άθροισμα.

Ας ονομάσω την πρώτη μέρα Χ. Τότε η δεύτερη θα είναι Χ + 1, η τρίτη Χ + 7 και η τελευταία Χ + 8.

Ο φίλος μας πρόσθεσε όλες τις μέρες, για να βρει το άθροισμα. Κάνουμε και εμείς το ίδιο, δηλαδή:

Χ + Χ + 1 + Χ + 7 + Χ + 8

Το άθροισμα που βρήκε είναι 20. Ας το βάλουμε και εμείς:

Χ + Χ + 1 + Χ + 7 + Χ + 8 = 20.

Ας «τακτοποιήσουμε» λίγο τους αριθμούς και τα γράμματα:

Χ + Χ + Χ + Χ + 1 + 7 + 8 = 20

ή Χ + Χ + Χ + Χ + 16 = 20.

Πώς θα λύσω την εξίσωση;

Μπορώ να βγάλω 16 και από τα δύο μέρη της εξίσωσης.

Έτσι έχω Χ + Χ + Χ + Χ = 4, δηλαδή «τέσσερις φορές το Χ ίσον τέσσερα» ή 4 Χ = 4.

Με βάση τον κανόνα της ζυγαριάς, διαιρώ και τα δυο μέρη της εξίσωσης με το 4 και βρίσκω Χ = 1.

Άρα η πρώτη ημερομηνία είναι το 1.

Τώρα είναι εύκολο να βρω και τις υπόλοιπες. Έτσι η δεύτερη θα είναι Χ + 1, η επόμενη Χ + 7 και η τελευταία Χ + 8.

Θέματα για διερεύνηση και συζήτηση

Δοκιμάστε το στην ομάδα σας με άλλα τετράγωνα ημερών.

Μπορείτε να βρείτε τον κανόνα; Τι κάνω δηλαδή για να ανακαλύψω από το άθροισμα τεσσάρων ημερών του ημερολο-γίου ποια είναι η πρώτη μέρα;

Δοκιμάστε με τέσσερις μέρες στην ίδια σειρά (οριζόντια).

Ποιος είναι ο νέος κανόνας;

**Admin** Τετ Δεκ 01, 2010 10:58 pm

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

ΠΡΟΣΟΧΗ: ΑΛΛΟ ΜΕΙΩΤΕΟΣ, ΑΛΛΟ ΑΦΑΙΡΕΤΕΟΣΣτις εξισώσεις πρόσθεσης είχαμε πει ότι ο άγνωστος είτε είναι στη θέση του ενός ή του άλλου προσθετέου κάνουμε αφαίρεση του γνωστού προσθετέου από το άθροισμα.
Δεν ισχύει όμως το ίδιο και στις εξισώσεις αφαίρεσης. Εδώ παίζει ρόλο σε ποια θέση είναι ο άγνωστος. Άλλο κάνουμε όταν είναι στο μειωτέο(πρόσθεση) και άλλο στον αφαιρετέο(αφαίρεση).

Τι ξέρουμε για την αφαίρεση;
200 - 50=150
Πώς βρίσκουμε το μειωτέο;
150+50=200 (προσθέτουμε στη διαφορά τον αφαιρετέο)

Πώς θα λύσουμε την εξίσωση;
χ - 50 = 150
χ = 150 + 50
χ = 200

Πώς βρίσκουμε τον αφαιρετέο;
200-150=50 (αφαιρούμε τη διαφορά από το μειωτέο)

Πώς θα λύσουμε την εξίσωση:
200 - x = 150
χ=200 - 150
χ = 50

Οι 53 αθλητές του σχολείου ανέβηκαν στο λεωφορείο που θα τους μετέφερε στο στάδιο. Τα αγόρια κατέβηκαν στην κεντρική είσοδο. Το λεωφορείο στη συνέχεια μετέφερε τις 18 αθλήτριες σε άλλη είσοδο στην άλλη πλευρά του σταδίου. Πόσα ήταν τα αγόρια;

• Χρησιμοποιώντας τη μεταβλητή (α) γράψε την εξίσωση που εκφράζει το πρόβλημα:
[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

Στο σχήμα φαίνεται η μετάβαση στο στάδιο και η επιστροφή των παιδιών.

• Παρατήρησε τη σχέση που έχει το σύνολο των παιδιών (53) με τον αριθμό των αγοριών και των κοριτσιών και απάντησε στην ερώτηση:

Τι θα κάνεις για να βρεις πόσα είναι τα αγόρια;

53 - α = 18

• Υπολόγισε την τιμή του άγνωστου στην εξίσωση που έγραψες:

α= 53 - 18

α = 35

Παρατηρούμε το σχήμα!

Ποια είναι η αντίστροφη πράξη της αφαίρεσης;

53 - α = 18

18 + α = 53
Να και ανάλογα παραδείγματα:

Η ΣΤ΄τάξη έδωσε από το ταμείο της 14 Ευρώ για να αγοράσει υλικό για τα Χριστούγεννα και έμειναν 35 Ευρώ. ( χ - 14 = 35 Ευρώ)
Το ίδιο έκανε και η Ε΄τάξη. Από τα 46 Ευρώ που είχε, έδωσαν ένα ποσό , αγόρασαν υλικό και έμειναν 16 Ευρώ( 46 - χ = 16)
Όπως παρατηρείς στην α΄περίπτωση ο άγνωστος βρίσκεται στη θέση του μειωτέου. Για να τον βρούμε προσθέτουμε στη διαφορά τον αφαιρετέο( χ =35 + 14 , χ = 49 Ευρώ) Στη β΄περίπτωση ο άγνωστος βρίσκεται στη θέση του αφαιρετέου. Για να τον βρούμε αφαιρούμε από το μειωτέο τη διαφορά ( χ = 46 - 16 , χ= 30 Ευρώ) Τι λες, σε μια εξίσωση αφαίρεσης μπορούμε να έχουμε αφαιρετέο 0; πότε; μειωτέο 0; γιατί;

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτή την εικόνα.]

1. Ο Γιάννης έχει Ψ καραμέλες. Η Ελένη έχει 46 λιγότερες. Επιλέξτε πώς θα εκφράσουμε πόσες καραμέλες έχει η Ελένη.

Επιλογή μίας απάντησης.

α. 46-ψ

β. ψ-46

γ. ψ

δ. 46+ψ

2. Να λύσετε την εξίσωση :

4 2/5 - x = 0,1

3. Εκφράζω με εξίσωση και λύνω το παρακάτω πρόβλημα:

Η Χριστίνα βρήκε στην τσέπη του μπουφάν της ένα ξεχασμένο χαρτονόμισμα! Έκανε μεγάλη χαρά. Έτρεξε αμέσως ν' αγοράσει τα παπούτσια που είχε δει. Έδωσε 87 ευρώ και πήρε ρέστα 13 ευρώ. Τι χαρτονόμισμα είχε βρει;

**Admin** Κυρ Δεκ 05, 2010 8:55 pm

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

[/size]Πρόβλημα:

Η ΣΤ' τάξη έφτιαξε για το χριστουγεννιάτικο παζάρι κουραμπιέδες και τους πουλούσε προς 8,5 Ευρώ το κιλό. Πόσα κιλά κουραμπιέδες πούλησε αν εισέπραξε 204 Ευρώ; ( χ . 8,5 = 204)

Πρόβλημα:

Η ΣΤ' τάξη έφτιαξε για το χριστουγεννιάτικο παζάρι 24 κιλά κουραμπιέδες και εισέπραξε 204 Ευρώ. Πόσο κόστιζε το κιλό; ( 24 . χ = 204)

Σκέψου ότι έχεις ένα πολλαπλασιασμό απλό . Π. χ. 3 . 8 = 24
Οι διαιρέσεις που προκύπτουν από τον παραπάνω πολλαπλασιασμό είναι: 24 : 3 = 8 και 24 : 8 = 3

Άρα καταλαβαίνεις ότι για να βρούμε τον άγνωστο χ που είναι παράγοντας γινομένου αρκεί να διαιρέσουμε το γινόμενο με τον άλλο γνωστό παράγοντα.

Γράφουμε τις εξισώσεις: ( χ . 8,5 = 204 ή
χ = 204 : 8,5 ή
χ = 24)
και ( 24 . χ = 204 ή
χ = 204 : 24 ή
χ = 8,5)

Είναι δυνατόν το γινόμενο και ένας παράγοντας να είναι ίδιοι; Ποιος είναι τότε ο άλλος παράγοντας;

Κωστάκης Τρι Μαρ 22, 2011 5:03 am

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

orestis Δευ Απρ 04, 2011 2:42 pm

ΚΥΡΙΕ ΝΙΚΟ ΑΠΟ ΑΥΡΙΟ ΘΑ ΕΙΜΑΙ ΚΑΛΥΤΕΡΑ

**Admin** Δευ Απρ 04, 2011 2:46 pm

ΠΕΡΑΣΤΙΚΆ ΟΡΕΣΤΗ Exclamation

Κωστάκης Πεμ Απρ 07, 2011 2:44 am

[Πρέπει να είστε εγγεγραμμένοι και συνδεδεμένοι για να δείτε αυτόν το σύνδεσμο.]

ΕΝΟΤΗΤΑ 2

ΕΝΟΤΗΤΑ 2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Ο ΑΓΝΩΣΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΣΘΕΤΕΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Ο ΑΓΝΩΣΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΜΕΙΩΤΕΟΣ Η΄ ΑΦΑΙΡΕΤΕΟΣ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ Ο ΑΓΝΩΣΤΟΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Απ: ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Απ: ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Απ: ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Απ: ΕΝΟΤΗΤΑ 2

Κυρ	Δευ	Τρι	Τετ	Πεμ	Παρ	Σαβ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31